Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia central: Media, Mediana, Moda
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| El promedio de notas es muy importante. |
Supóngase que un determinado alumno obtiene 35 puntos en una prueba de matemática. Este puntaje, por sí mismo tiene muy poco significado a menos que podamos conocer el total de puntos que obtiene una persona promedio al participar en esa prueba, saber cuál es la calificación menor y mayor que se obtiene, y cuán variadas son esas calificaciones.
En otras palabras, para que una calificación tenga significado hay que contar con elementos de referencia generalmente relacionados con ciertos criterios estadísticos.
Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.
Volviendo a nuestro ejemplo, digamos que la calificación promedio en la prueba que hizo el alumno fue de 20 puntos. Con este dato podemos decir que la calificación del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 65 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, debido a que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase.
En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:
Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.
Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.
Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.
Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.
Las medidas de tendencia central más comunes son:
La media aritmética: comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por una X con una línea en la parte superior.
La mediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md.
La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo.
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| La media, el mejor dato. |
De estas tres medidas de tendencia central, la media es reconocida como la mejor y más útil. Sin embargo, cuando en una distribución se presentan casos cuyos puntajes son muy bajos o muy altos respecto al resto del grupo, es recomendable utilizar la mediana o la moda. (Porque dadas las características de la media, esta es afectada por los valores extremos).
La media es considerada como la mejor medida de tendencia central, por las siguientes razones:
Los puntajes contribuyen de manera proporcional al hacer el cómputo de la media.
Es la medida de tendencia central más conocida y utilizada.
Las medias de dos o más distribuciones pueden ser fácilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian.
La media se utiliza en procesos y técnicas estadísticas más complejas mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos.
Cómo calcular, la media, la moda y la mediana
Media aritmética 
o promedio
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.
Ejemplo 1:
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3
n = 6 (número total de datos)
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.
Ejemplo 2:
Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra.
Largo (en m)
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Frecuencia absoluta
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Largo por Frecuencia absoluta
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5
|
10
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5 . 10 = 50
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6
|
15
|
6 . 15 = 90
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7
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20
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7 . 20 = 140
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8
|
12
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8 . 12 = 96
|
9
|
6
|
9 . 6 = 54
|
Frecuencia total = 63
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430
|
Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuántas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera más corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).
Moda (Mo)
Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o sea, cual se repite más.
Ejemplo 1:
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.
5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3
La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)
Ejemplo 2:
20, 12, 14, 23, 78, 56, 96
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.
Mediana (Med)
Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución.
Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.
Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:
Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.
Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).
Ejemplo 1:
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.
Ejemplo 2:
El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales.
21, 19, 18, 15, 13, 11, 10, 9, 5, 3
Ejemplo 3:
Interpretando el gráfico de barras podemos deducir que:
5 alumnos obtienen puntaje de 62
5 alumnos obtienen puntaje de 67
8 alumnos obtienen puntaje de 72
12 alumnos obtienen puntaje de 77
16 alumnos obtienen puntaje de 82
4 alumnos obtienen puntaje de 87
lo que hace un total de 50 alumnos
Sabemos que la mediana se obtiene haciendo
lo cual significa que la mediana se ubica en la posición intermedia entre los alumnos 25 y 26 (cuyo promedio es 25,5), lo cual vemos en el siguiente cuadro:
puntaje
|
alumnos
|
62
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1
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62
|
2
|
62
|
3
|
62
|
4
|
62
|
5
|
67
|
6
|
67
|
7
|
67
|
8
|
67
|
9
|
67
|
10
|
72
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11
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72
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12
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72
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13
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72
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14
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72
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15
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72
|
16
|
72
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17
|
72
|
18
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77
|
19
|
77
|
20
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77
|
21
|
77
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22
|
77
|
23
|
77
|
24
|
77
|
25
|
77
|
26
|
77
|
27
|
77
|
28
|
77
|
29
|
77
|
30
|
82
|
31
|
82
|
32
|
82
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33
|
82
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34
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82
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35
|
82
|
36
|
82
|
37
|
82
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38
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82
|
39
|
82
|
40
|
82
|
41
|
82
|
42
|
82
|
43
|
82
|
44
|
82
|
45
|
82
|
46
|
87
|
47
|
87
|
48
|
87
|
49
|
87
|
50
|
El alumno 25 obtuvo puntaje de 77
El alumno 26 obtuvo puntaje de 77
Entonces, como el total de alumnos es par debemos promediar esos puntajes:
La mediana es 77, lo cual significa que 25 alumnos obtuvieron puntaje desde 77 hacia abajo (alumnos 25 hasta el 1 en el cuadro) y 25 alumnos obtuvieron puntaje de 77 hacia arriba (alumnos 26 hasta el 50 en el cuadro).
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de losdatos de una distribución estadística.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por 
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
| xi | fi | xi · fi | |x - x| | |x - x| · fi | |
| [10, 15) | 12.5 | 3 | 37.5 | 9.286 | 27.858 |
|---|---|---|---|---|---|
| [15, 20) | 17.5 | 5 | 87.5 | 4.286 | 21.43 |
| [20, 25) | 22.5 | 7 | 157.5 | 0.714 | 4.998 |
| [25, 30) | 27.5 | 4 | 110 | 5.714 | 22.856 |
| [30, 35) | 32.5 | 2 | 65 | 10.174 | 21.428 |
| 21 | 457.5 | 98.57 |
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por 
.
.
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Varianza para datos agrupados
Ejercicios de varianza
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
| xi | fi | xi · fi | xi2 · fi | |
|---|---|---|---|---|
| [10, 20) | 15 | 1 | 15 | 225 |
| [20, 30) | 25 | 8 | 200 | 5000 |
| [30,40) | 35 | 10 | 350 | 12 250 |
| [40, 50) | 45 | 9 | 405 | 18 225 |
| [50, 60 | 55 | 8 | 440 | 24 200 |
| [60,70) | 65 | 4 | 260 | 16 900 |
| [70, 80) | 75 | 2 | 150 | 11 250 |
| 42 | 1 820 | 88 050 |
Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados
Ejercicios de desviación típica
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
| xi | fi | xi · fi | xi2 · fi | |
|---|---|---|---|---|
| [10, 20) | 15 | 1 | 15 | 225 |
| [20, 30) | 25 | 8 | 200 | 5000 |
| [30,40) | 35 | 10 | 350 | 12 250 |
| [40, 50) | 45 | 9 | 405 | 18 225 |
| [50, 60) | 55 | 8 | 440 | 24 200 |
| [60,70) | 65 | 4 | 260 | 16 900 |
| [70, 80) | 75 | 2 | 150 | 11 250 |
| 42 | 1 820 | 88 050 |
Propiedades de la desviación típica
1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dichonúmero.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la desviación típica
1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.
3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.
Probabilidad
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
Probabilidad condicionada.
En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad vará en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo.
Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera.
Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.
Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.
Sean A y B dos sucesos tal que P( A )
 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. |
De esta igualdad se deduce:
P( B
A ) = P( B/A ) · P( A )
P( BA ) = P( B/A ) · P( A )
La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:
B C ) = P( A ) · P( B/A ) · P( C/A B )
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